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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}
	\footnote{参考：Cohen《量子力学》卷一，Griffiths《量子力学导论》。使用AI辅助。}
	尽管没有人喜欢数学，但是没有数学是万万不能的。
	在这里简要介绍量子玄学的基本数学概念。
	和“传统”物理不同，在微积分之外，量子玄学还化用了非常多来自线性代数的抽象数学结构。
	请注意，我们这里只处理了最简单的单粒子非简并情况，并且省去了很多严谨性。
	
	\section{量子哲学的数学原理1: 向量}
	
\subsection{向量，右矢}
首先我们要讨论的是向量：
$\ket{\varphi}$是Hilbert线性空间中的一个元素，或者称为“向量”，或者（最正统地）称为\textbf{右矢}。

如果你不知道这是什么意思（\textsl{也没有太知道的必要}），你就把他理解为一个“具有很多个分量的”向量也一般没有太大问题。

\subsection{基与向量的基表示}
由于$\ket{\varphi}$是一个矢量，其总可以表示为\textbf{一组基的线性组合}。
我们假定${\ket{a_i}}$是一组基，那么：
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i} = c_1 \ket{a_1} + c_2 \ket{a_2} + c_3 \ket{a_3} + ...
\end{equation}
其中$c_i$是复系数。按基展开的观念在量子玄学中举足轻重。一旦选定了基，就可以写出$\ket{\varphi}$ 在这组基下的\textbf{坐标} $\{c_i\}$: 
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = 
	\left (
	c_1 c_2 c_3 ...
	\right )_{\{a_i\}}^T
\end{equation}
由于基的选取十分多样，因此我们可以按\textbf{不同的基展开}同一个向量：
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i} =  \sum_i b_i \ket{b_i} = ...
\end{equation}
当然，同一$\ket{\varphi}$在不同基下的坐标也不一样。

有一类基特别重要，它们被称为\textbf{正交归一基}。这类基的特点是任意两个不同的基向量内积为零，而同一个基向量的内积为一：
\begin{equation}
	\text{若基正交归一：}
	\begin{aligned}
	\braket{a_i}{a_j} = & \delta_{ij} \\
	\end{aligned}	
\end{equation}

\subsection{左矢}
一个右矢$\ket{\varphi}$可以对应一个\textbf{左矢}$\bra{\varphi}$，右矢换为左矢的过程有点类似于向量的\textbf{共轭转置}：
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i} \qquad \bra{\varphi} = \sum_i c_i^* \bra{a_i}
\end{equation}
其中$^*$代表共轭。

\subsection{内积}
如果我们有两个向量 
\begin{equation}
\ket{f} = \sum_i f_i \ket{a_i}, \ket{g} = \sum_i g_i \ket{a_i}~,
\end{equation}
那么这两个向量的\textbf{内积} $\braket{f}{g}$是他们左、右矢的乘法，这有点类似于向量f的共轭转置与向量g的点乘。
\begin{equation}
	\begin{aligned}
	\braket{f}{g} = &  (\sum_i f_i^* \ket{a_i})(\sum_i g_i \ket{a_i}) \\
	=& (f_1^*\bra{a_1} + f_2^* \bra{a_2} + ... ) (g_1 \ket{a_1} + g_2\ket{a_2} + ... ) \\
	=& f_1^* g_1\bra{a_1}\ket{a_1}+f_1^*g_2\bra{a_1}\ket{a_2}+... +f_2^* g_1\bra{a_2}\ket{a_1}+f_1^* g_2\bra{a_2}\ket{a_2}+ ... \\
	=&\sum_i\sum_j f^*_i g_j\bra{a_i} \ket{a_j}
	\end{aligned}	
\end{equation}
这看起来非常繁琐！但是，如果我们的基$\{\alpha\}$是正交归一的，即$\bra{a_i}\ket{a_j}=\delta_{ij}$，那么问题会稍微简单一点，
因为所有的“交叉项”$\bra{f_i}\ket{f_j}=0 (i\ne j)$：
\begin{equation}
	\text{若基正交归一：}
	\begin{aligned}
	\braket{f}{g} =& \sum_i\sum_j f^*_i g_j\bra{a_i} \ket{a_j}
	=& \sum_k f^*_k g_k \\
	\end{aligned}	
\end{equation}
我们会经常大量使用内积。


\subsection{模}
如果在一组正交归一基下， $\ket{f} = \sum_i c_i \ket{a_i}$
那么 $\ket{f}$的\textbf{模}是$\braket{f}{f} = \sum \abs{c_i}^2$。

\subsection{投影}
假设我们知道一个向量$\ket{\varphi}$
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i} = c_1 \ket{a_1} + c_2 \ket{a_2} + c_3 \ket{a_3} + ...
\end{equation}
那我们如何确定$\ket{\varphi}$在某一基向量$\ket{\alpha_n}$上的“含量”，或者数学地说，数值投影？
答案是做他们的内积:
\begin{equation}
	\braket{a_n}{\varphi} = c_1 \braket{a_n}{a_1} + c_2 \braket{a_n}{a_2} + ... = \sum_k c_k \braket{a_n}{a_k}
\end{equation}
另一方面，我们还可以推出 $\ket{\varphi}$在$\ket{a_n}$上的“向量投影”：
\begin{equation}
	\braket{a_n}{\varphi} \ket{a_n} = (\sum_k c_k \braket{a_n}{a_k})\ket{a_n}
\end{equation}
上式有时也也写为
\begin{equation}
	\braket{a_n}{\varphi} \ket{a_n}= \ket{a_n}\braket{a_n}{\varphi}  = (\ket{a_n}\bra{a_n})\ket{\varphi} = \hat P \ket{\varphi}
\end{equation}
其中$\hat P =  \ket{a_n} \bra{a_n} $也称投影算符。

假设基$\{\alpha\}$是正交归一的，那么问题同样变得简单：
\begin{equation}
	\text{若基正交归一：} \braket{a_n}{\varphi} = \sum_k c_k \braket{a_n}{a_k} = c_n
\end{equation}
在这种情况下，$\braket{a_n}{\varphi}$是$c_n$更为“优雅”的称呼。

\newpage

\section{量子哲学的数学原理2: 算符}

\subsection{线性变换与算符}
一个\textbf{线性变换}$\hat A$将一个元素$\ket{f}$线性变换为另一个元素$\ket{g}$：
\begin{equation}
\ket {f} \stackrel{\hat A}{\to} \ket {g} \qquad \ket{g} = \hat A \ket {f}
\end{equation}
这样的一个线性变换被称为一个\textbf{算符} $\hat A$。

众所周知，把握线性变换的关键是把握\textbf{基的线性变换}：
假定 $\{\ket{f_i}\}$ 是一组基。
那么，任一向量 $\ket{\varphi}$ 的关于$\hat A$线性变换：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\hat A \ket{\varphi} 
=& \hat A (\sum_i c_i \ket{f_i}) 
=& \sum_i (c_i \hat A \ket{f_i})
\end{aligned}
\end{equation}
我们要线性变换每一个基，再将结果展开为这组基的线性组合：
\begin{equation}
\hat A \ket{f_i} = \sum_j A_{ij} \ket{f_j}\\
\end{equation}
因此，
\begin{equation}
	\hat A \ket{\varphi}  = \sum_i (c_i \sum_j A_{ij} \ket{f_j})
\end{equation}
原则上说，一旦基确定，就可以写出算符的矩阵形式$\hat A \leftrightarrow A_{ij}$；
在不同基下，同一线性变换$\hat A$的具体形式也不一样。

我们将经常遇到一类有复杂的内积：
\begin{equation}
m = \bra{f} \hat A \ket{g} =  \bra{f} (\hat A \ket{g} )
\Leftrightarrow \left \{ 
\begin{aligned}
	\ket{h} &= \hat A \ket{g}\\
	m & = \braket{f}{h}\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
可以理解为先对$\ket{g}$做关于$\hat A$一次线性变换得到$\ket{h}$，再将$\ket{h}$与$\ket{f}$做内积得到$m$。
原则上我们可以写为分量形式，但是非常繁琐。

\subsection{算符的本征值与本征向量}
对于一个算符 $\hat A$，存在一类特殊的元素 $\ket{a_i}$ 能使
\begin{equation}
\text{$\ket{a_i}$是$\hat A$的本征矢} \qquad  \hat A \ket{a_i} = A_i \ket{a_i}
\end{equation}
那么称$\ket{a_i}$是$\hat A$的一个\textbf{本征向量}，而$A_i$是$\hat A$的一个\textbf{本征值}。
本征向量在线性变换后“长度改变”但“方向不变”。
不是所有向量$\ket{a}$都具有这一性质，只有 $\hat A$的本征向量$\ket{a_i}$具有这一性质。

某种意义而言，本征值与本征向量是算符自身的性质，而与算符去作用的元素无关，这有一些深远的含义。

\newpage
\section{量子哲学的数学原理3: 观察算符与互易算符}
\subsection{观察算符}
假如$\hat A$是观察算符，那么其具有以下重要性质：
\begin{itemize}
	\item $\hat A$ 的本征值都是实数；
	\item $\hat A$不同的本征值对应的本征函数相互正交；
	\item $\hat A$ 的本征向量构成一组基。
\end{itemize}
也就是说，我们\textbf{可以由$A$的本征向量构造一组正交归一的基}。
我们以后将大量使用观察算符。

\subsection{观察算符的线性变换}
我们假定$\hat A$是观察算符，并且他的本征向量是$\ket{a_i}$。由于观察算符的本征向量构成一组基，那么我们可以将任一向量按这组基展开：
$$\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i} = c_1 \ket{a_1} + c_2 \ket{a_2} + c_3 \ket{a_3} + ...$$
对其做关于$\hat A$的线性变换：
$$\hat A \ket{\varphi} = \hat A (\sum_i c_i \ket{a_i}) = \sum_i c_i \hat A \ket{a_i}  =  \sum_i c_i A_i \ket{a_i}$$
比起我们之前的“一般性结论”，这个结果非常的干净。

如果我们继续计算$\bra {\varphi} \hat A \ket{\varphi} $，那么又由于基的正交归一性，我们将会得到：
$$ 
\bra {\varphi} \hat A \ket{\varphi} 
= \sum_i(c_i^* \bra{a_i}) (\sum_j c_j A_j \ket{a_j})A_j
= \sum_k \abs{c_k}^2 A_k~.
$$
这个结论具有重要意义。

\subsection{互易算符}
如果两个观察算符满足交换律，那么称其为\textbf{互易算符}： 
$$ \hat A, \hat B \text{是互易算符} \Rightarrow \hat A \hat B \ket{f} = \hat B \hat A \ket{f} \Leftrightarrow (A \hat B - \hat B \hat A) \ket{f}= 0$$
抽象地说，
 $$
  \hat A, \hat B \text{是互易算符} \Rightarrow \hat A \hat B - \hat B \hat A = 0 \Rightarrow  [\hat A, \hat B] = 0
 $$
其中定义了 Poison括号：
$$
[\hat A, \hat B] = \hat A \hat  B - \hat B \hat A
$$
对易算符有一个很有意思的性质：
\textbf
{
如果两个算符是对易算符，那么他们具有共同的、可构成基的本征向量。
}

\newpage
\section{量子玄学基本假设}
假定 $\hat A \ket{a_i} = A_i \ket{a_i}, \ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i}$。

在谈了一堆云里雾里的数学之后，让我们回到量子玄学的正题，展示这些数学工具在量子玄学中的运用。
以下列出量子玄学的基本假设，主要参考了Cohen的著作。
如同牛顿三定律之于经典力学，Maxwell方程组之于电动力学，这些基本假设是量子玄学的基石：
\begin{itemize}
	\item 1. 系统的状态由$\ket{\varphi}$描述，$\ket{\varphi}$包含了系统的“所有”信息；
	\item 2. 任何可观测物理量$A$均有相应的观察算符$\hat A$；
	\item 3. 观测物理量$A$后，其测量结果是$\hat A$的本征值之一$A_i$；
	\item 4. 观测物理量$A$后，测量结果为 $A_i$的概率$P_i = \braket{a_i}{\varphi} = \abs{c_i}^2$，其中$\ket{a_i}$是本征值$A_i$对应的本征向量；
	\item 5. 观测物理量$A$后，系统的状态\textbf{改变}为$A_i$相对应的本征函数 $\ket{\varphi} \leftarrow C \ket{a_i}$ ($C$是归一化常数)；
	\item 6. 不进行观测，系统状态的演化遵循Schrodinger方程：$i\hbar \pdv{\ket{\varphi(t)}}{t} = \hat {H(t)} \ket{\varphi(t)}$。
\end{itemize}
以下做一些必要的补充说明：
\begin{itemize}
	\item 公理1表明系统的状态由$\ket{\varphi}$描述；作为对比，经典力学中系统的状态由粒子的位置与动量描述；
	\item 公理2表明所有物理量都有一个对应的观察算符，而我们已经知道可以从观测算符的本征函数构造一组正交归一的基，这无疑极大简化了处理可观测物理量时的大量数学运算；
	此外，公理2允许我们将$\ket{\varphi}$按某一物理量$A$的本征函数$\ket{a_i}$展开：
	$$
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i}
	$$
	\item 公理4暗示$\ket{\varphi}$是归一的：$\sum_i P_i = 1 \Rightarrow \sum_i \abs{c_i}^2 = 1$，或$\braket{\varphi}{\varphi} = 1$；
	\item 公理5表明我们的“观测”行为不再能像经典力学那样被假定为“无损”的，而会改变系统的状态，有点类似“阅后即焚”；
	\item 公理3，4，5描述了“观测”的性质。据我所知，迄今为止，“何为观测”的问题仍是量子玄学中悬而未决的难题。
	不过，从公理化的角度看，我们只是抽象地定义了一个名为“观测”的动作，并且借此赋予波函数以物理含义。
\end{itemize}
这或许有点令人失望：
大家以为量子玄学会告诉我们“为什么A的观测值不能被精确测定”；
但量子玄学没有，量子玄学只是假定了这一规律的成立，然后推导在这种情形下会发生什么。

\newpage

\section{如何理解$\ket{\varphi}$}
我们已经抽象地定义了向量 $\ket{\varphi}$，并根据公理1要求它“描述系统的状态”。那么，我们究竟应该如何理解 $\ket{\varphi}$ 呢？

\subsection{概率诠释}
根据公理2，我们可以使用各种观测算符的本征函数作为基，来展开 $\ket{\varphi}$。
例如，假设 $\hat{X}$ 是位置算符，$\hat{P}$ 是动量算符，$\hat{H}$ 是能量算符，
而$\ket{X_i}, \ket{P_i}, \ket{E_i}$ 分别是位置、动量和能量对应的本征态，
那么$\ket{\varphi}$可以分别按这些基被展开为：
\begin{itemize}
	\item $\ket{\varphi} = \sum_i c_i^{(X)} \ket{X_i}$ “几何空间”
	\item $\ket{\varphi} = \sum_i c_i^{(P)} \ket{P_i}$ “动量空间”
	\item $\ket{\varphi} = \sum_i c_i^{(E)} \ket{E_i}$ “能量空间”
	\item ...
\end{itemize}
这表明，对于特定的物理量，系统的状态可以表示为该物理量对应算符的各种本征态的\textbf{叠加}或线性组合。

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{observation}
	\caption{示意图：量子态的叠加原理和测量过程}
	\label{fig:observation}
\end{figure}

公理3和4进一步明确了 $\ket{\varphi}$ 的含义。
例如，当我们观测一个处于 $\ket{\varphi}$ 状态的粒子的位置时，粒子的位置是按概率出现的：
它有 $P = (c_1^{(X)})^2$ 的概率出现在 $x = x_1$ 位置，有 $P = (c_2^{(X)})^2$ 的概率出现在 $x = x_2$ 位置，等等。
同样地，如果我们观测粒子的能量，其能量也是按概率出现的：
它有 $P = (c_1^{(E)})^2$ 的概率具有 $E = E_1$ 的能量，
有 $P = (c_2^{(E)})^2$ 的概率具有 $E = E_2$ 的能量，等等。

AI对示意图\ref{fig:observation}的描述：
这张示意图\ref{fig:observation}展示了量子力学中的一个基本概念——量子态的叠加原理和测量过程。以下是对这张图的解释：

\begin{enumerate}
    \item \textbf{左侧的饼图}：
        \begin{itemize}
            \item 这个饼图表示一个量子态 $|\varphi\rangle$ 可以表示为多个本征态 $|A_1\rangle, |A_2\rangle, |A_3\rangle, \ldots$ 的线性组合。
            \item 每个本征态 $|A_i\rangle$ 的权重由系数 $c_i$ 决定，而概率 $P_i$ 由 $|c_i|^2$ 给出。
            \item 饼图中的每个扇形区域代表一个本征态，其面积与该本征态的概率成正比。
        \end{itemize}
    
    \item \textbf{右侧的饼图}：
        \begin{itemize}
            \item 这个饼图表示在进行测量后，量子态 $|\varphi\rangle$ 会塌缩到其中一个本征态 $|A_2\rangle$。
            \item 测量结果是随机的，但每个本征态被选中的概率与其在叠加态中的权重 $|c_i|^2$ 成正比。
        \end{itemize}
    
    \item \textbf{中间的箭头和文字}：
        \begin{itemize}
            \item 箭头表示测量过程，文字“观测”和“转动转盘”形象地描述了测量过程的随机性和不确定性。
            \item 测量前，量子态处于多个本征态的叠加；测量后，量子态塌缩到一个确定的本征态。
        \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{“概率的含义”}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{observation2}
	\caption{a.对多个处于 $\ket{\varphi}$ 态的粒子分别进行测量 b. 对同一个粒子进行多次测量}
	\label{fig:observation2}
\end{figure}

非常留意这里的“概率”的含义，这并不意味着对同一个粒子进行多次位置测量然后统计结果！
根据观测公理5，\textbf{当我们观测完粒子后，粒子的状态已经改变而不再是$\ket{\varphi}$}（除非粒子刚好处于我们所观测的物理量的某一本征态），
后续的任何观测都不是对 $\ket{\varphi}$ 进行的。
因此，这里的“概率”\textbf{不能}简单理解为“多次重复测量一个粒子的位置”。

更准确地说，我们应该对多个处于 $\ket{\varphi}$ 态的粒子分别进行位置测量，然后统计结果。
Griffiths 对此有一个非常精辟的论述。
同理，上文提到的测量能量的概率和测量位置的概率也应该是对多个处于 $\ket{\varphi}$ 态的粒子分别进行的，而不能理解为“先测量位置再测量能量”。

\subsection{波函数；表象}
我们通常所说的“波函数”，相当于 $\ket{\varphi}$ 在位置基 $\ket{X_i}$ 下的“系数”。
由于粒子的位置本征值是连续的，我们需要考虑“粒子处于不同位置（如 $x=0.0001, x=0.0002, x=0.0003, \ldots$）的概率”
（请注意，这里的小数只是为了说明问题，并不意味着存在一个最小间隔）。
这使累加化为积分
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_i c_i^{(X)} \ket{X_i} 
	= \int c_i(x) \ket{X(x=x_i)} \dd x_i
	\Rightarrow \varphi(x) = c_i(x)
\end{equation}
其中$\ket{X(x=x_i)} $表示“处于$x=x_i$处的粒子”。

直接使用 $\ket{\varphi}$ 符号的做法被称为Dirac记号（我个人称之为里世界）；
将态矢量 $\ket{\varphi}$ 按空间基 $\ket{X_i}$ 展开的做法 被称为位置表象（我个人称之为表世界）；
类似地，将态矢量 $\ket{\varphi}$ 按动量基 $\ket{P_i}$ 展开，我们可以定义动量表象等。

将$\ket{\varphi}$转到为位置表象的$\varphi$后，相应的内积、算符等都要被转换为相应的形式，将在隔壁笔记“表世界量子玄学”中处理。
例如，内积被转换为积分、算符被转换为偏微分等。

虽然位置表象下的波函数非常直观地体现了粒子位置的概率分布，但要确定能量和动量则较为复杂，需要进行复杂的基变换，例如傅里叶变换。
因此，尽管波函数的语言更为直观，但狄拉克符号的物理意义更深刻。在 Dirac 语言中，由于基都是抽象的，我们很容易理解基与叠加的物理含义。
个人认为，如果从波函数入手，可能会难以理解“叠加”的概念。

\newpage

\section{观测值的期望与方差}
仍然假定 $\hat A \ket{a_i} = A_i \ket{a_i}, \ket{\varphi} = \sum_i c_i \ket{a_i}$。

根据观测公理，（在非本征态的情况下）每一次测量$\ket{\varphi}$的物理量$A$，
得到测量结果可能是不一样的。
因此，我们只能描述测量结果的平均（期望）与方差。
以下我们假定我们观测物理量$A$。

\subsection{得到特定物理量$A_0$的概率}
尽管这一结论已由公理3直接给出，但我们在此再复习一次。
假设我们对状态 $\ket{\varphi}$ 进行一次 $A$ 的测量，那么观测得到某一特定物理值 $A_0$ 的概率为
\begin{equation}
	P(A_0)= \abs{\braket{a_0}{\varphi}}^2 = \abs{c_0}^2
\end{equation}
证明如下：
\begin{equation} \bra{a_0} \ket{\varphi} = \bra{a_0} \left( \sum_i c_i \ket{a_i} \right) = c_0 \braket{a_0}{a_0} = c_0 \end{equation}

\subsection{期望}
从概率论的角度来看，物理量 $A$ 的观测平均值，即期望，可以表示为加权平均：
\begin{equation}
	\langle A \rangle = \sum_i A_i P(A_i)
\end{equation}
其中$P(A_i)$是观测得到$A_i$的概率。
结合量子玄学公理，这一期望值可以表示为一个内积： 
\begin{equation}
	\langle A \rangle = \bra{\varphi} \hat A  \ket{\varphi}
\end{equation}
证明如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
	& \bra{\varphi} \hat A  \ket{\varphi}\\
	=&  \bra{\varphi} \hat A (\sum_i c_i \ket{a_i}) \qquad \text{观测算符的本征函数可构成一组基}\\
	=&  \bra{\varphi} (\sum_i c_i \hat A \ket{a_i})\\
	=&  \bra{\varphi} (\sum_i c_i A_i \ket{a_i}) \qquad \text{$\hat A \ket{a_i} = A_i \ket{a_i}$} \\
	= & (\sum_i c_i^* \bra{a_i}) (\sum_i c_i A_i \ket{a_i}) \\'
	= & \sum_i \abs{c_i}^2 A_i \qquad \text{正交归一基}\\
	= & \sum_i P_i A_i \qquad \text{概率公理 $P_i = \abs{c_i}^2$}\\
	=& \langle A \rangle \\
\end{aligned}
\end{equation}

\subsection{方差}
在概率论中，方差用于衡量数据的离散程度。
在我们的语境下，就是每次测量结果和平均结果的偏离程度：
\begin{equation}
	\sigma^2_A = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2
\end{equation}
其中$\langle A^2 \rangle = \sum_i (A_i^2 P(A_i))$

我们上文已经会求$\langle A \rangle$了，但是怎么求$\langle A^2 \rangle$呢？
可以证明，
\begin{equation}
	\langle A^2 \rangle = \bra{\varphi} \hat A \hat A  \ket{\varphi}
\end{equation}
证明如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
	& \bra{\varphi} \hat A  \hat A  \ket{\varphi}\\
	=&  \bra{\varphi} \hat A (\sum_i c_i A_i \ket{a_i}) \\
	=&  \bra{\varphi} (\sum_i c_i A_i \hat A \ket{a_i}) \\
	= & \bra{\varphi}  (\sum_i c_i A_i^2 \ket{a_i}) \\
	=& \langle A^2 \rangle \\
\end{aligned}
\end{equation}
至此，原则上我们可以计算方差了。

\subsection{本征态的特例}
我们考虑一种非常特殊的情况，
即系统处于该物理量$A$的某一本征态，例如， 
$$
\ket{\varphi} = \ket{a_0}
$$
根据公理3、4和5，我们可以直接得出以下结论：
在这种情况下，观测结果只能是对应的本征值 $A_0$，并且系统的状态在观测后仍然保持为 $\ket{a_0}$。
这是因为 $\ket{a_0}$ 是系统唯一可选的状态。

从数学的角度上讲，我们可以说
$$
\langle A \rangle = \bra{\varphi} \hat A \ket{\varphi} 
= \bra{a_0} A_0 \ket{a_0} 
= A_0
$$
以及
$$
\langle A^2 \rangle = \bra{\varphi} \hat A \hat A\ket{\varphi} 
= \bra{a_0} A_0 A_0 \ket{a_0} 
= A_0^2
$$
因此
$$
\sigma^2_A = \langle A^2 \rangle - {\langle A \rangle}^2 = A_0^2 - A_0^2 =0 
$$
即若系统处于本征态，那么系统具有“确定”的观测量 $A$。

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\section{不确定性原理}
假设我们要对量子态 $\ket{\varphi}$ 观测两个物理量 $A$ 和 $B$。
那么问题来了：能否构造一个量子态 $\ket{\varphi}$，
使得系统同时具有确定的 $A$ 和 $B$？
即
$$
\ket{\varphi} = \ket{a_0} = \ket{b_0} ~\text{such that}~
\hat A \ket{a_0} = A_0 \ket{a_0}, \hat B \ket{b_0} = B_0 \ket{b_0}
$$
其中$\ket{a_0}, \ket{b_0}$分别是物理量$A,B$的某一本征态。

答案是，除非算符$\hat A$与$\hat B$ \textbf{互易}，否则一般\textbf{不行}，这是\textbf{不确定原理}的体现。
\begin{itemize}
	\item 如果$A$和$B$互易，那么根据互易算符的性质，我们知道$A$和$B$有共同的、可构成基的本征向量，因此上述表达式是可以成立的。
	\item 而如果$A$和$B$不互易，那么$A$和$B$很可能没有能有共同的、可构成基的本征向量。
	也就是说，在$A$看来是本征态的基向量$\ket{a_0}$，在$B$看来很可能不是$\ket{a_0} = c_0^{(B)}\ket{b_0}+c_1^{(B)}\ket{b_1}+...$，反之亦然。
	根据公理，这种情况下，尽管$A$的观测值是“确定的”，但$B$的观测值将会是按概率的。
	总之，若$A,B$不互易，那么我们一般无法使系统的量子态 同时处于 $A$ 和 $B$ 共同的本征态。	
\end{itemize}
根据Griffiths的说法，不确定性原理源于观测公理以及物理量本身的性质（其对应的算符是否互易），
是观测公理和互易性的必然推论，而不是无中生有的结论。

至此，我们应该已经理解了量子玄学的主要概念！
\end{document}
